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nummòlt
nummòlt.Org es un esfuerzo para explicar matemáticas mediante aplicaciones informáticas gráficas. No se trata de simples gráficos estáticos o preprogramados como una película. Son pequeños juguetes informáticos que se comportan bajo reglas inspiradas en la física, y por tanto en las matemáticas. El trabajo de nummòlt.Org es más general, pero en éste artículo tratamos la pieza básica y fundacional: el nummòlt: La manipulación de números enteros con sus tres operaciones definidas: Adición, Sustracción y Multiplicación. El programa permite hacer divisiones, sólo en el sentido de operación inversa de la multiplicación. Y nunca como resolución de un problema planteado. Para resolver divisiones, es necesario introducir el concepto de número racional. Y la analogía del nummòlt ya no es útil.
Nuestras aplicaciones pretenden crear imágenes claras que puedan constituir una idea correcta del funcionamiento de los números, y permitan razonar, utilizando mentalmente lo que se ha visto en la pantalla.

En 1993, un poco preocupado por el uso de la calculadora como método habitual de cálculo, empecé una investigación sobre el cálculo numérico visual a base de manipulación de bloques.

Las operaciones elementales en la escuela, siempre han tenido un aspecto mágico, (basados en reglas y tablas) y en un solo paso siempre en el sentido de la resolución.
La calculadora, representa la máxima expresión de la magia: El hecho de apretar una tecla, nos da el resultado.
Decidí ir en sentido contrario:
Intentar ver que és lo que ocurre dentro de la calculadora (o de la cabeza) cuando se realiza un cálculo. Y evitar el uso de reglas, para poder llegar a hacer razonamientos.
El resultado, en 1998 después de tres intentos y tres años de trabajo, fue el nummòlt.
El nummòlt és una calculadora con pequeños bloques manipulables que se deben ir modificando para conseguir la resolución de una expresión inicial.
He perseguido construir un conjunto de hechos informáticos coherente, y lo que aquí explico, es la aplicación, resultado de mis reflexiones.
A lo largo de esta explicación, voy a obviar muchos aspectos manipulativos, muy difíciles de explicar en un texto, y remito al uso real del programa para las personas interesadas.
Nummòlt es un programa de uso público, gratuito y accesible: lo pueden encontrar y descargar en http://www.nummolt.com/
Ante todo, el nummòlt consiste en un editor de expresiones numéricas y operaciones elementales. Una vez escrita la expresión, se debe pulsar un botón, y aparece la expresión en forma gráfica. Las cantidades que aparecen, no pueden ser modificadas gráficamente en cuanto a la cantidad resultante. Lo que se plantea gráficamente representa siempre la misma cantidad. Lo que modificamos gráficamente es la forma de representarla.
Empecemos por el modo de representación:
Los números son visualizados por pequeñas fichas. Las unidades por cuadrados de valor 1, las decenas, por rectángulos de valor 10, y así sucesivamente.
Las pequeñas fichas, se pegan entre sí, se ordenan y se apilan de una forma automática, siguiendo el principio de que nunca una ficha grande oculte una ficha pequeña.
De esta forma, las fichas unidad, siempre están arriba de todo en la representación visual (es decir, técnicamente, son las últimas que se dibujan), porque son las más pequeñas.
Veamos por ejemplo el 123: (fig 1)
El 100 permanece al fondo, encima tiene las dos fichas de 10 y por último, las 3 de 1.

 
Figura 1.
 

Tal como se puede ver, hay un pequeño desfase horizontal y vertical para visualizar mejor la profundidad de la expresión.

Los escalonamientos solo se producen cuando hay fichas en un orden. Es decir, cuando no hay ninguna cantidad en un orden, no se produce el correspondiente escalonamiento (Figura 2) Se puede comprobar en la cifra 1002:
 
 

Figura 2.
 

Por si la lectura de estas fichas provocaba alguna dificultad, hay un mecanismo automático de lectura, que se pone en funcionamiento cuando se deja ratón encima de un conjunto de fichas (Figura 3):
 

Figura 3.
 

Los números positivos tienen un aspecto verde-azul (Figura 3).

Los números negativos són rojizos (Figura 4):
Los carteles que indican las cantidades son amarillos.

 
 
 
Figura 4.
 

Para trasladar los pequeños montones de fichas (los números) es necesario arrastrar con el botón izquierdo del ratón apretado sobre la ficha más profunda. El arrastre sobre una ficha superior, o sea, de orden más bajo, o más baja en su propio orden, provoca la descomposición del número en dos, en función de la ficha seleccionada.

En la figura 5 vemos el resultado de arrastrar el -246 por la última decena:
 

Figura 5.
 

El fondo de la pantalla, ha oscurecido. Ésto ocurre cuando la cifra que se expresa en el tablero no es la más simple posible.

Por tanto, ya hemos expresado lo más elemental del nummòlt: la suma. Si se plantea la suma de dos números, aparecen dos pequeños montones de fichas sobre un fondo gris oscuro. Si se trasladan y se superponen, el resultado es la suma de las dos cifras.

A no ser que en alguno de los órdenes aparezcan más de 9 fichas. Entonces, de 10 en 10, se deben convertir el exceso de fichas en otras del orden superior:

Observese la suma de 251 + 382 (Figura 6 y 7):
 
 

Figura 6.
 
Figura 7.

En la figura 6 se observa el resultado de la simple superposición de los dos números.

La conversión de 10 decenas en 1 centena se realiza mediante un doble clic sobre la columna de las decenas. El programa convierte 10 fichas de decena en 10 fichas 00, y crea una nueva de 100. Las fichas 0 o 00 se van borrando poco a poco, por un sistema permanente, que limpia el tablero de este tipo de expresiones. La figura 7 muestra el resultado final: 633.

Tal como hemos visto anteriormante, hay fichas positivas, y negativas.

Se anulan entre ellas, si son del mismo orden.

Ésto fundamenta la resta en el nummòlt.

Veamos un ejemplo que requiere una resta con préstamo 25-18:

Figura 8.
 
Figura 9.
Figura 10.
Figura 11.
En la figura 8 se plantea la operación. Por las propiedades de las fichas, se anulan 5 fichas negativas de unidad, con las 5 unidades positivas del 25 (figura 9). Se descompone una decena en sus unidades (Figura 10) y se anulan las decenas positivas y negativas, y las 3 unidades negativas con las correspondientes positivas. Resultado: 7.
Una de las intenciones de este programa, es tratar con naturalidad los números negativos: El resultado negativo de una resta, no necesita una explicación complementaria, hablando de termómetros y temperaturas bajo cero u otras analogías resbaladizas.
Simplemente, hay fichas positivas y negativas, y se anulan entre ellas como la materia y la antimateria. Si hay más fichas negativas al final, el resultado es negativo, y si ocurre lo contrario, el resultado es positivo.
Para poder continuar, es necesario introducir ahora el concepto de paréntesis. Aunque para la suma, no es necesario, conviene mostrar ahora de qué forma el intérprete del nummòlt visualiza la siguiente expresión: ((2+4)+(1+3)):

 
 
Figura 12.
 

Nummòlt convierte los paréntesis en ventanas de Windows ®, y coloca en su interior las operaciones o cifras que estaban dentro de los respectivos paréntesis.

El proceso de resolución, ya es evidente. Primero, resolver las operaciones interiores de los paréntesis, al resolverse las operaciones (de suma en este caso) el fondo de cada una de las ventanas se vuelve claro, y en este punto, se puede eliminar la ventana (el paréntesis) haciendo doble clic sobre una zona sin fichas de la propia ventana aclarada.

También es posible crear paréntesis nuevos. En éste punto, sólo por diversión. Si marcamos una ventana (de selección) arrastrando el ratón con el botón izquierdo apretado, aparece un rectángulo formado por una línea negra. El rectángulo debe abarcar las fichas que queremos introducir en el paréntesis (una nueva ventana) (Figura 13).
 

Figura 13.
 

Al rodear las fichas y soltar el botón, aparece un cuadro de diálogo. Escogemos la opción "paréntesis nuevo" (figura 14):
 
 

Figura 14.
 
Figura 15.
 

Ésta operación se ha hecho sólo para mostrar el mecanismo de creación de paréntesis, y ver el resultado (figura 15), y como paso introductorio a la forma de expresar la multiplicación.

Los paréntesis tienen la propiedad del signo. Hay paréntesis positivos, y negativos. Aquí se muestran dos formas diferentes de expresar la misma cantidad. (-(-2)) (figura 16) y ((2)) (Figura 17):
 
 

Figura 16.
 
Figura 17.
 

Al hacer doble clic sobre el paréntesis rojo, la ventana desaparece, y el número 2 interior (negativo) se convierte en un 2 positivo. Al hacer doble clic sobre el paréntesis positivo, simplemente, desaparece la ventana, y el 2 interior cae sobre la ventana posterior.

Los paréntesis que se crean durante la resolución son siempre positivos.

En este punto, y con el conocimiento de los paréntesis en nummòlt, podemos ver cómo se expresan las multiplicaciones:

Cabe aclarar, que éste no es, ni pretendo que sea, la mejor forma de explicar la multiplicación. Pero dada la analogía que plantea el nummòlt, és el modo más coherente.

Una multiplicación del tipo 3 * 7, se plantea en la forma ( [ + 3 ] * [ + 7 ] + 0 ).

La figura 18 lo muestra:
 
 

Figura 18.
([3]*[7])
 

Las ventanas rayadas a 45º (paréntesis o corchetes en la expresión) son paréntesis con propiedades especiales para la multiplicación. Sólo existen cuando contienen algo. (La multiplicación por cero, no tiene sentido aquí)

El apilamiento de paréntesis, expresa la prioridad de la multiplicación respecto al resto de operaciones. Si planteamos 2 + 3 * 4, se da por sobreentendido que primero hay que resolver el 3 * 4 y luego sumar 2. Hay más motivos. La multiplicación se plantea como operación reversible, y por pasos. Por tanto, a media multiplicación, se aisla el resultado del resto de operaciones, para mayor claridad.

Para efectuar la multiplicación, se debe seguir un procedimiento único en el programa: Arrastrar las fichas de una ventana a la otra, de una en una.

Cada vez que se hace ésto, la ficha trasladada, se convierte en cero, y se produce la multiplicación de la ficha trasladada por la totalidad de las fichas de la ventana receptora. El resultado, aparece en la ventana posterior. (entre las dos ventanas de multiplicación). Se debe repetir el procedimiento mientras haya fichas. Seguimos la operación anterior (Figura 18) y resolvemos:
 
 

Figura 19.
(7+[2]*[7])
 
Figura 20.
(14+[1]*[7])
Figura 21.
(21)

Para mayor claridad y sencillez, hemos operado arrastrando las 3 fichas de la izquierda, añadiendo grupos de 7 unidades al fondo. No es iprescindible actuar así. Cualquier desplazamiento de fichas da un resultado correcto. Para entender esto, es mejor recurrir a la analogía de la multiplicación como expresión de una superfície. He aquí un buen primer tema de reflexión con los alumnos: Por qué es indiferente la ficha que arrastremos?

Tal como he insinuado anteriormente, los pasos en el mecanismo de la multiplicación, son reversibles. Imaginemos que estamos en el paso correspondiente a la figura 20. Es necesario marcar un paréntesis, tal como hemos hecho en la figura 13 sobre un grupo de 7 fichas. Entonces aparece el cuadro de diálogo de la figura 14. En este caso se debe apretar el botón de "operación inversa de la multiplicación" ("/") Y el programa pregunta si se desea obtener la operación 7 * 1 o bien 1 * 7. (Añadir a la derecha 7 unidades o añadir a la izquierda 1 unidad)

Pero, ¿y si se quiere partir de un estado como el de la figura 21? ¿Sin ninguna multiplicación en marcha? ¿Y si se quiere plantear una división con resto?

Vamos a experimentar dividiendo 13 entre 3:

nummòlt no hace propiamente divisiones. Debemos partir del número 13, y manipularlo.
 

Figura 22. 
(13)
 
Figura 23.
(10 + [3])
Figura 24.
(10+[3]*[1])
Figura 25.
(1+[3]*[4])

En esta resolución, he omitido muchos pasos para poder ver el resultado rápido. Se ha ido agrupando, y al final sobra un 1. Es el resto de la división.

Finalmente, sólo queda explicar un último recurso del nummòlt: El elemento neutro de la suma: el 0 se puede expresar aquí de otra forma. Añadiendo cantidades positivas y negativas al mismo tiempo, y en la misma cantidad. Ésto se consigue haciendo clic con el botón derecho del ratón sobre cualquier espacio libre de cualquier ventana. Al hacer ésto, aparece un cuadro de diálogo que pregunta qué cantidad positiva y negativa al mismo tiempo se quiere añadir.

Hasta ahora, hemos visto que cuando superponemos cantidades iguales de diferente signo, todo se convierte en ceros, y por un mecanismo automático de recolección de ceros, todo desaparece. Este procedimiento es reversible: A partir de nada, podemos hacer aparecer en positivo y negativo la cantidad deseada. No afecta al resultado.

Veamos un ejemplo de la utilidad de este mecanismo:

Expresemos de una forma gráfica más simple el número 99998:
 

Figura 26.
 
Figura 27.
 
Figura 26.
 
 

Para que aparezca el +2 -2 es necesario, tal como ya se ha dicho, hacer clic con el botón derecho del ratón. Entonces aparece un cuadro de diálogo que permite escoger la cantidad requerida en fichas positivas y negativas al mismo tiempo. Al añadir el +2 al 99998, a través de múltiples dobles clics sobre las columnas, se consigue la expresión 100000 - 2. Una expresión mucho más cómoda para manipular con el nummòlt, y para hacer un càlculo mental rápido.

El nummòlt puede ser útil simplemente para interpretar correctamente las expresiones escritas.

Veamos como interpreta expresiones equívocas:

Por ejemplo 2 + 3 * 2:

 
Figura 29. (2+([3]*[2]))
 

Se considera siempre la prioridad de la multiplicación sobre la suma o la resta, por principio, y por la estructura misma del programa.

Expresiones con paréntesis y sin visualizar operadores de multiplicación -(2(2+4)):

 
Figura 30.  (-([2]*[(2+4)])) 

O expresiones, mostradas aquí por el placer de verlas ((((((((((1)))))))))):
 

Figura 31.
 

Finalmente, vamos a resolver una operación basada en un razonamiento geométrico 99*99+99*2+1:
 

Figura 32.
 

Simplificamos las expresiones interiores de las multiplicaciones añadiendo parejas de +1-1:
 
 
 

Figura 33.
 

Multiplicamos:
 
 
 

Figura 34.
 

Resolvemos las expresiones interiores de los paréntesis:
 
 
 

Figura 35.
 

Suprimimos los paréntesis y efectuamos la suma, y convertimos los grupos de 10 fichas del mismo orden en una del orden superior:
 
 
 

Figura 36.
 

Finalmente, debo aclarar unas cuestiones técnicas: El nummòlt, no calcula nada. El programa consiste en las reglas de comportamiento de los números enteros, paréntesis, etc. El programa no comprueba operaciones. En una ventana inferior, lee el tablero, e interpreta lo que hay en él. Los mecanismos de lectura del tablero, tienen como límite el Long Integer (2^30) Por tanto cifras mayores no podrán ser leídas ni escritas. Pero el programa en sí, no tiene límite de cantidad. (Sólo la dimensión de la pantalla) Pueden probar con una multiplicación del tipo 100000000 * 100000000 * 100000000. (Pocas veces se puede ver un cuatrillón con todos los ceros en una calculadora) (Figura 37)
 
 
 

Figura 37
 

Cuánto mayor es la pantalla, mejor funciona.

El nummòlt puede ser divertido para hacer cálculos con números realmente grandes.

Pero la ventana de edición inicial sólo admite números de máximo 9 cifras.

A la vez, es necesario aclarar que no se pueden cometer errores con la manipulación gráfica. Las reglas son estrictas, y no se puede trasladar una cifra de un paréntesis, a otro (excepto en el caso especial de la multiplicación), o cualquier manipulación que pueda alterar el resultado. El resultado está siempre encima del tablero. No se puede realizar ninguna modificación de la cantidad total que expresa el tablero. La cantidad total sólo se introduce por el cuadro de edición inicial, antes de apretar el botón que traduce la expresión escrita a la expresión gráfica y manipulable.

El nummòlt es una herramienta para plantear operaciones numéricas y representarlas gráficamente. No tiene ninguna actividad preprogramada. Está pensado como herramienta para ayudar a visualizar números. El destinatario final del programa, es el alumno, pero es necesario el apoyo del profesor.

Nuestras aplicaciones pretenden crear imágenes claras que puedan constituir una idea correcta del funcionamiento de los números, y permitan razonar, utilizando mentalmente lo que se ha visto en la pantalla.

Junio 2002

© 2002: Maurici Carbó Jordi.

www.nummolt.com

Download nummòlt from: http://nummolt.com/nummolt/numdown.htm