From a Barbara Scott Nelson example In Mosaic:
"The Big Idea Behind Regrouping"
visualized and manipulated with nummòlt:
Screenshots:

23-15:

10 + 13 - 10 - 5:

 

13 - 5:

 

5 + 5 + 3 - 5:

5 + 3:

8:

(when the problem is solved, nummòlt clarifies his background)

The Big Idea Behind Regrouping:

"Usually, when we think of what it is that makes up the content of mathematics, we think of learning things like the times tables or subtracting by borrowing. But each of these is just the tip of the iceberg. Underlying each is a much larger, deeper, and more important mathematical idea. For example, let's focus on the concept of borrowing in subtraction. To solve the equation 23 minus 15, you would have to "borrow," that is, cross out the 2 in 23, make it a 1, then put the 1 in front of the 3 to get 13, from which you would subtract 5 to get 8. A deeper way of looking at what is happening here is that you are breaking the number 23 into two separate numbers: 13 and 10. When you borrowed the 10, you really converted that 10 into 10 ones, and added them to the 3 to get 13 ones. So you have 13 ones and one 10. Then you can subtract the 5 ones from the 13 ones. The "big idea" here is that all numbers are built up from ones and tens and that it is possible to take any number apart accordingly. So, as long as we teach only the tip of the iceberg, the mechanics of borrowing, students will just be memorizing rules. If they forget the rule, they're sunk. When they learn the "big idea," however, they understand something fundamental about the way numbers work that they can apply in lots of other contexts."

-Barbara Scott Nelson, director of EDC's Center for the Development of Teaching, as quoted in a roundtable discussion on The Learner Online's Guide to Math & Science Reform

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Artícleto the UNO review: - unpublished (Author: Maurici Carbó)
 

Traducció (?) lliure de Maurici Carbó: La gran idea que hi ha darrera del reagrupament: "Normalment, quan pensem quin és el contingut del que en diem matemàtiques, pensem en coses com el programa d'estudis, o la resta amb manlleu. Però cadascuna d'aquestes coses és sols la punta de l'iceberg. A sota, hi ha una idea molt més gran i important. Per exemple, fixem-nos en el concepte de manlleu en la resta. Per a resoldre l'operació 23 menys 15, hem demanar en préstec un 1 del 2 de 23, posar aquest 1 davant del 3, per a aconseguir un 13, del que en traurem el 5, per a aconseguir un 8. Hi ha una manera més profunda de veure què estem fent: estem trencant el nombre 23 en dos nombres separats: 13 i 10. Quan manllevem el 10, realment, convertim el 10 en 10 uns, i els afegim al 3, per a aconseguir 13 uns. Per tant, tenim 13 uns i un 10. Aleshores podem restar 5 uns dels 13 uns. La "gran idea", que hi ha aquí, és que tots els nombres estan construïts d'uns, deus, cents..., i és possible construir qualsevol nombre a part.  Per tant, si continuem ensenyant sols la punta de l'iceberg:  la mecànica del manlleu, o del "me'n porto una", els estudiants, només memoritzaran les regles. Si obliden la regla apresa, naufraguen. Quan aprenen la "gran idea", aleshores, entenen quelcom fonamental de la manera com es comporten els nombres, i ho poden aplicar en molts altres contextos."

Traducción (?) libre de Maurici Carbó: La gran idea detrásde la reagrupación : "Normalmente, cuando pensamos en cuál és el contenido de lo que denominamos matemáticas, pensamos en cosas como el programa de estudios, o la resta resuelta con préstamo. Pero cada una de éstas cosas es sólo la punta del iceberg. Debajo, hay una idea más importante. Por ejemplo, focalicemos nuestra atención en el concepto de préstamo en la resta. Para resolver la operación 23 menos 15, debemos pedir en préstmo un 1 del 2 del 23, poner éste 1 delante del 3, para conseguir un 13, del que ya podemos restar un 5, para conseguir un 8. Hay una forma más profunda de ver lo que estamos haciendo: Estamos desmontando el 23 en dos números separados: 13 y 10. Cuando pedimos en préstamo el10, realmente convertimos el 10 en 10 unos, y los añadimos al 3 para conseguir 13 unos. Por tanto, tenemos 13 unos y un 10. Entonces podemos restar 5 unos de 13 unos. La "gran idea", que hay aquí, es que todos los números estan construidos de unos, dieces, cientos..., y es posible construir cualquier número con su agrupación. Por tanto, si continuamos enseñando sólo la punta del iceberg: la mecánica del préstamo, o del "me llevo una", los estudiantes sólo memorizarán las reglas. Si olvidan la regla aprendida, naufragan. Cuando aprenden la "gran idea", entonces entienden algo fundamental del comportamiento de los números, y lo pueden aplicar a otros campos.  Artículopara la revista UNO - no publicado.(autor: Maurici Carbó)

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